2004-9-3 17:28
工人为你工作7天，回报为一根金条，必须在每天付给他们一段，且只能截2次，你将如何付费？
我们再来看我自己编的一道题目：如何将7块金子放入3个箱子中，使我可以整箱取走任意块数？
我们可以很容易的发现，这样的两道题目实质是一样的，而其答案也是相同的。
即：将金条切成 1,2,4 三段，或者说将7块金子分别以 1,2,4 块放入箱子中。
这道题目是比较简单的，但是如果用同样的情景，出一道这样的题呢？
工人为你工作365天，回报为一根金条，必须在每天付给他们一段，且只能截9次，你将如何付费？
或者说如何将365块金子放入9个箱子中，使我可以整箱取走任意块数？
用这样的数字可能比较难看出其中的玄机，我们换做这样的一组数：
………………255天，…………………………7次，你将如何付费？
或者说如何将255块金子放入8个箱子中，可以整箱取走任意块数？
看到8和255这样两个数字想必大家就会马上意识到255=2^8-1。
那么这样的一组数字和金子分段有什么关系呢？我们来看看上面两个更复杂些的题目的答案。
365天的情况：切 8 次就等于将原金条分成 9 段装入 9 个箱子，
则其分法为 ：I: 1, II: 2, III: 4, IV: 8, V: 16, VI: 32, VII: 64, VIII: 128,
IX: 365-255=110.
255天的情况：切 7 次就等于将原金条分成 8 段装入 8 个箱子，
则其分法为 ：I: 1, II: 2, III: 4, IV: 8, V: 16, VI: 32, VII: 64, VIII: 128.
2. 对此类题目的总结
这样，我们不难发现，m 个箱子所能完成上述过程所装的“金子”数最多为 2^m-1 个。
而此时箱子中的“金子”数分别为：2^0, 2^1, 2^2, ... 2^(m-1) 个。
由此我们就可导出对于任意一个自然数 N ，都可以将它分成若干份，使我们可以整份
取出任意数量。
在(0,N)中必有一个最大的 2^n 值，此自然数 N 就可以分成 n+1 份，
每份中数值分别为：2^0, 2^1, 2^2, ... 2^(n-1), N-2^n
3. 寻根问源
那么这是为什么呢？
我们拿最简单的 7, 8, 15, 16 来做个说明。
先写出 16 以内十进制数和二进制数的对应表，我们从中会悟出一些道理。
0
0
1 2
1 10
3 4
11 100
5 6 7 8
101 110 111 1000
9 10 11 12 13 14 15 16
1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000
而如果分 7, 8, 15, 16 这四个数为几份，分别应该是：
7: 1, 2, 4
16: 1, 2, 4, 8, 1
对于 7，如果我们要拿出 5 (101) 就是 1,4 两份；拿出 7 (111) 就是 1,2,4 三份。
对于16，如果我们要拿出 11(1011) 就是 1,2,8 三份；拿出12 (1100) 就是 4,8 两份；
拿出 14(1110) 就是 2,4,8 三份；拿出 15(1111) 就是1,2,4,8四份；
这样，很明显的可以看出，对于任意一个自然数 N ，依照前帽尾过的方法，分成 n+1 份后，
如果要拿出N，自然就取出全部的n+1份即可；
如果要拿出一定的数量 a (a<=N-1, a=0,1,2,3...)，
将它写成二进制数后，哪一位上的数是1，就拿出那一份，组成的就是这个数 a 。
我们再来看我自己编的一道题目：如何将7块金子放入3个箱子中，使我可以整箱取走任意块数？
我们可以很容易的发现，这样的两道题目实质是一样的，而其答案也是相同的。
即：将金条切成 1,2,4 三段，或者说将7块金子分别以 1,2,4 块放入箱子中。
这道题目是比较简单的，但是如果用同样的情景，出一道这样的题呢？
工人为你工作365天，回报为一根金条，必须在每天付给他们一段，且只能截9次，你将如何付费？
或者说如何将365块金子放入9个箱子中，使我可以整箱取走任意块数？
用这样的数字可能比较难看出其中的玄机，我们换做这样的一组数：
………………255天，…………………………7次，你将如何付费？
或者说如何将255块金子放入8个箱子中，可以整箱取走任意块数？
看到8和255这样两个数字想必大家就会马上意识到255=2^8-1。
那么这样的一组数字和金子分段有什么关系呢？我们来看看上面两个更复杂些的题目的答案。
365天的情况：切 8 次就等于将原金条分成 9 段装入 9 个箱子，
则其分法为 ：I: 1, II: 2, III: 4, IV: 8, V: 16, VI: 32, VII: 64, VIII: 128,
IX: 365-255=110.
255天的情况：切 7 次就等于将原金条分成 8 段装入 8 个箱子，
则其分法为 ：I: 1, II: 2, III: 4, IV: 8, V: 16, VI: 32, VII: 64, VIII: 128.
2. 对此类题目的总结
这样，我们不难发现，m 个箱子所能完成上述过程所装的“金子”数最多为 2^m-1 个。
而此时箱子中的“金子”数分别为：2^0, 2^1, 2^2, ... 2^(m-1) 个。
由此我们就可导出对于任意一个自然数 N ，都可以将它分成若干份，使我们可以整份
取出任意数量。
在(0,N)中必有一个最大的 2^n 值，此自然数 N 就可以分成 n+1 份，
每份中数值分别为：2^0, 2^1, 2^2, ... 2^(n-1), N-2^n
3. 寻根问源
那么这是为什么呢？
我们拿最简单的 7, 8, 15, 16 来做个说明。
先写出 16 以内十进制数和二进制数的对应表，我们从中会悟出一些道理。
0
0
1 2
1 10
3 4
11 100
5 6 7 8
101 110 111 1000
9 10 11 12 13 14 15 16
1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000
而如果分 7, 8, 15, 16 这四个数为几份，分别应该是：
7: 1, 2, 4
16: 1, 2, 4, 8, 1
对于 7，如果我们要拿出 5 (101) 就是 1,4 两份；拿出 7 (111) 就是 1,2,4 三份。
对于16，如果我们要拿出 11(1011) 就是 1,2,8 三份；拿出12 (1100) 就是 4,8 两份；
拿出 14(1110) 就是 2,4,8 三份；拿出 15(1111) 就是1,2,4,8四份；
这样，很明显的可以看出，对于任意一个自然数 N ，依照前帽尾过的方法，分成 n+1 份后，
如果要拿出N，自然就取出全部的n+1份即可；
如果要拿出一定的数量 a (a<=N-1, a=0,1,2,3...)，
将它写成二进制数后，哪一位上的数是1，就拿出那一份，组成的就是这个数 a 。